第43章 字跡不一樣

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不再看他，陳家洛這才悄悄鬆了口氣，還不等他靜下心神接著做題，眼珠子亂瞟著就看到林琳一臉低沉。

嚇得他趕快低頭。

林琳帶了好幾年競賽省隊成員了，很多學生戲稱她為滅絕師太。

林琳此人十分細心，簡直就是細心到了一個極致，又是學數學出身的，推理能力那叫一個好。

學生心裡的小九九她一眼就能看出來，看出來了也不說，就給你挖坑等著你跳進去。

最後還要感謝她挖坑挖的漂亮，不知道這個坑坑底的是什麼泥土。

底下人的反應在林琳的意料之中。

為了探查他們的上限，這份試卷中的題目都是往屆Imo的題目。

大型國際賽事上面，六道題目總共84分，總共得了二十分的也不在少數，這還是每個國家最精英尖銳的學生。

松鼠這道題目這是一道比較困難的組合題，出在第二天的第二道題目中，可事實上卻有著第三題左右的難度。

在圓周上交換位置的問題在競賽中並不少見，這類題型的困難之處在於，每個小結論看起來都並不難，但是由於能夠得到不少看起來有用或無用的小結論，怎樣從當中篩選出對解題真正有幫助的那幾個結論拼在一一起， 這需要考生比較維密的邏輯能力。

這類題更像是“會者不難，難者不會”，有可能可以很快做出，可一旦陷入死衚衕後想要再做出來就比較困難了。

臺下六人，目前只有陳靈嬰是那個“會者不難”的存在。

證明一:

假設結論不真。

在第k次操作中，如果交換的核桃的編號均小於k，則稱太是“大”的:如果編號均大於k，則稱k是“小”的。大的編號的核桃稱為“大核桃”，小的編號的核桃稱為“小核桃”。

我們依次指出如下的幾個結論:

(1)如果k是大的，那麼在第k次操作之後，編號為k的核桃不會再被交換。

假設k號核桃在第k次操作之後首次被交換是在第m次操作中，不妨設第m次操作前，m號核桃在k號核桃的左側。我們設第k次操作後，n號核桃在k號核桃的左側。則n＜k。

對於k＜j＜m， 如果第j次操作將q號核桃與當時在k號核桃左側的p號核桃交換，那麼p＜j，即可推出q＜j.那麼，透過遞推我們便可以知道，k號核桃左側的核桃的編號-定比當前的操作輪次要少，也就是說，第m-1次操作後，k號核桃左側的核桃編號定小於 m- 1.這與我們的假設矛盾。

(2)不存在大的數ij，使得第i次操作中交換了j號核桃。看則， 由於i是大的，因此有j＜i這與(1)矛盾.

(3)不存在小的數i,j，使得第i次操作中交換了j號核桃。否則，由於i是小的，因此有j＞i。

我們說明，在第p(i＜p≤)次操作前，始終有編號小於p的核桃與j號核桃相鄰對p施行歸納法p\\u003di+1顯然假設第p次操作前有編號小於p的核桃與j號核桃相鄰，那麼第p次操作有三種可能:

未交換這兩個核桃，則結論對p+1依然成立:交換了j號核桃，則p號核桃與j號核桃相鄰，結論對p+1成立，交換了編號小於p的那個核桃，那麼交換來的核桃編號必須依然小於p。結論對p+1仍成立。

因此，在第j次操作時，j號核桃旁有編號小於j的核桃這與j是小的產生矛盾。

(4)起初放著大核桃的位置，最終也放著大核桃;起初放著小核桃的位置，最終也放著小核桃，此由(2)(3)，可知每次都是大核桃與大核桃交換，小核桃與小核桃交換.繼面結論(4)成立。

(5)對於每個位置，都存在一個k，使得第k次交換時，k號核桃在這個位置。

如若結論不成立， 那麼當這個位置放著編號為r的核桃時，一定會在第 r次操作前的某 一次操作，將r號核桃交換走.那麼，交換來的核桃的編號依然大於當前的操作輪次，換言之，該位置上的核桃編號始終大於當前的操作輪次。這是不可接下來我們來匯出最終的矛盾。

由於2021是奇數，因此起初定存在兩個大核桃相鄰，或兩個小核桃相鄰。

由結論(5)，一定存在某一刻， 使得這兩個位置上分別放有編號為a和b的核桃，且接下來是第a次操作。結合結論(2)、 (3)、 (4)， 這便產生了矛盾!

於是，最初的假設