第11部分

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解決了這些疑問。

（2）廣義相對論的空間概念

廣義相對論的起因主要是力圖對慣性質量和引力質量的同等性有所瞭解。我們從一個慣性系S1來說起，這個慣性系的空間從物理的觀點盾來是空虛的。換句話說，在所考慮的這部分空間中，既沒有物質（按照通常的意義），也沒有場（按照狹義相對論的意義）。設有另一個參考系S2相對於S1作勻加速運動。這時候S2就不是一個慣性系。對於S2來說，每一個試驗物體的運動都具有一個加速度，這個加速度與試驗物體的物理性質和化學性質無關。因此，相對於S2，最少就第一級近似而言，就存在著一種與引力場無法區分的狀態。因此，下述概念是與可觀察的事實相符的：S2也可以相當於一個“慣性系”；不過相對於S2又另存在勻）引力場（關於這個引力場的起源，這裡不必去管它）。因此，當討論的體系中包括引力場時，慣性系就失去了它本身的客觀意義（假定這個“等效原理”可以推廣到參考系的任何相對運動）。如果在這些基本觀念的基礎上能夠建立起一個合理的理論，那麼麼這個理論本身將滿足慣性質量與引力質量相等的事實，而這個事實是已被經驗所充分證實的。

從四維的觀點來考慮，四個座標的一種非線性變換對應於從S1到S2的過渡。這裡產生了一個問題：哪一種非線性變換是可能的，或者說，洛倫茲變換是怎樣推廣的？下述考慮對於回答這個問題具有決定性的意義。

設早先的理論中的慣性系具有這個性質：座標差由固定不移的“剛性”量杆測量，時間差由靜止的鐘測量。對第一個假定還須補充以另一個假定，即對於靜止的量杆的相對展開和並接而言，歐幾里得幾何學關於“長度”的諸定理是成立的。這樣，經過初步的考慮，就可以從狹義相對論的結果得出下述結論：對於相對於慣性系（S1）作加速運動的參考系（S2）而言，對座標標作此種直接的物理解釋不再是可能的了，但是，如果情況是這個的話，座標現在就只能表示“鄰接”的級或秩，也就是隻能表示空意願維級，但一點也不能表示空意願度規性質。這樣我們就意識到從已有的變換推廣到任意連續變換的可能性。而這裡就已具有廣義相對性原理的含義：“自然律對於任意連續的座標變換必須是協變的”。這個要求（連帶著自然律應具有最大可能的邏輯簡單性的要求）遠比狹義相對性原理更為有力地限制了一切自然律。

這一系列的觀念主要是以場作為一個獨立的要領為基礎的。因為，對於S2有效的情況被解釋為一種引力場，而並不問其是否存在著產生這個引力場的質量。藉助於這一系列的觀念，還可以理解到為什麼純引力場定律比起一般的場（例如在有電磁場存在的時候）的定律來，它與廣義相對論有更為直接的聯絡。也就是說，我們有充分的理由假定，“沒有場”的閔可夫斯基空間表示自然律中可能有的一種特殊情況，事實上這是可以設想的最簡單的特殊情況。就其度規性質而言，這樣的空間的特性可由下述的方式表示：等於一個三維“類空”截面上無限接近的兩點的空間間隔的實測值（用單位標準長度量度）的平方（畢達哥拉斯定律）；而dx4（x1；x2；x3）的兩個事件的時間間隔（以適當的計時標準量度）。這一切只不過是意味著將一種客觀的度規意義賦予下面這個量

（1）

這點也不難藉助於洛倫茲變換來予以證明。從數學觀點上來說，這個事實對應於這個條件：dS2對於洛倫茲變換是不變的。

如果按照廣義相對性原理的意義，令這個空間（參照方程（1））作一任意連續的座標變換，那麼這個具有客觀意義的量dS在新的座標系中即以下列關係式表示：

此式的右邊要對指標I和k從11，12，。直到44的全部組合求和。這裡諸項也並不是新座標的任意函式，而是必須正好使形式（la）經過四個座標的連續的變換仍能還原為形式（1）的這樣一類函式。為了使這一點成為可能，諸函式gik必須滿足某些普遍協變條件方程，這些方程是在建立廣義相對論以前半個多世紀時由黎曼匯出的（“黎曼條件”）。按照等效原理，當諸函式gik滿足黎曼條件時，（la）就以普遍協變形式描述了一種特殊的引力場。

由此推論，當黎曼條件被滿足時，一般的純引力場的定律即必然被滿足；但這個定律必然比黎曼條件弱或限制得較少。這樣，純引力的場定律實際上即可完全確定。這個結果不想在這裡詳加論證。

現在我們已有可能來考察一下，對空間概念要作多麼