第14部分

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表格，像下面這樣的：

A

B

C

D

EA

0

1

1。5 2。5 4。5B

1

0

0。5 1。5 3。5C

1。5 0。5 0

1

3D

2。5 1。5 1

0

2E

4。5 3。5 3

2

0

這裡面，豎的是起點站，橫的是終點站。現在這張表格裡的每一個數字都是實實在在可以觀測和檢驗的了。比如第一行第三列的那個1。5，它的橫座標是A，表明從A站出發。它的縱座標是C，表明到C站下車。那麼，只要某個乘客真正從A站坐到了C站，他就可以證實這個數字是正確的：這個旅途的確需要1。5塊車費。

好吧，某些讀者可能已經不耐煩了，它們的確是兩種不同型別的東西，可是，這種區別的意義有那麼大嗎？畢竟，它們表達的，不是同一種收費規則嗎？但事情要比我們想象的複雜多了，比如玻爾的表格之所以那麼簡潔，其實是有這樣一個假設，那就是“從A到B”和“從B到A”，所需的錢是一樣的。事實也許並非如此，從A到B要1塊錢，從B回到A卻很可能要1。5元。這樣玻爾的傳統方式要大大頭痛了，而海森堡的表格卻是簡潔明瞭的：只要修改B為橫座標A為縱座標的那個數字就可以了，只不過表格不再按照對角線對稱了而已。

更關鍵的是，海森堡爭辯說，所有的物理規則，也要按照這種表格的方式來改寫。我們已經有了經典的動力學方程，現在，我們必須全部把它們按照量子的方式改寫成某種表格方程。許多傳統的物理變數，現在都要看成是一些獨立的矩陣來處理。

在經典力學中，一個週期性的振動可以用數學方法分解成為一系列簡諧振動的疊加，這個方法叫做傅立葉展開。想象一下我們的耳朵，它可以靈敏地分辨出各種不同的聲音，即使這些聲音同時響起，混成一片嘈雜也無關緊要，一個發燒友甚至可以分辨出CD音樂中樂手翻動樂譜的細微沙沙聲。人耳自然是很神奇的，但是從本質上說，數學家也可以做到這一切，方法就是透過傅立葉分析把一個混合的音波分解成一系列的簡諧波。大家可能要感嘆，人耳竟然能夠在瞬間完成這樣複雜的數學分析，不過這其實是自然的進化而已。譬如守門員抱住飛來的足球，從數學上說相當於解析了一大堆重力和空氣動力學的微分方程並求出了球的軌跡，再比如人本能的趨利避害的反應，從基因的角度說也相當於進行了無數風險機率和未來獲利的計算。但這都只是因為進化的力量使得生物體趨於具有這樣的能力而已，這能力有利於自然選擇，倒不是什麼特殊的數學能力所導致。

回到正題，在玻爾和索末菲的舊原子模型裡，我們已經有了電子運動方程和量子化條件。這個運動同樣可以利用傅立葉分析的手法，化作一系列簡諧運動的疊加。在這個展開式裡的每一項，都代表了一個特定頻率。現在，海森堡準備對這個舊方程進行手術，把它徹底地改造成最新的矩陣版本。但是困難來了，我們現在有一個變數p，代表電子的動量，還有一個變數q，代表電子的位置。本來，在老方程裡這兩個變數應當乘起來，現在海森堡把p和q都變成了矩陣，那麼，現在p和q應當如何再乘起來呢？

這個問題問得好：你如何把兩個“表格”乘起來呢？

或者我們不妨先問自己這樣一個問題：把兩個表格乘起來，這代表了什麼意義呢？

為了容易理解，我們還是回到我們那個巴士車費的比喻。現在假設我們手裡有兩張海森堡制定的車費表：矩陣I和矩陣II，分別代表了巴士I號線和巴士II號線在某地的收費情況。為了簡單起見，我們假設每條線都只有兩個站，A和B。這兩個表如下：

I號線（矩陣I）： A　BA　1　2B　3　1

II號線（矩陣II）： A　BA　1　3B　4　1

好，我們再來回顧一下這兩張表到底代表了什麼意思。根據海森堡的規則，數字的橫座標代表了起點站，縱座標代表了終點站。那麼矩陣I第一行第一列的那個1就是說，你坐巴士I號線，從A地出發，在A地原地下車，車費要1塊錢（啊？為什麼原地不動也要付1塊錢呢？這個……一方面是比喻而已，